Лишай Квадратной Формы

Содержание

Кожные болезни у человека: фото, причины и симптомы

Мало кто знает, что кожный покров человека является самым большим органом в организме. Площадь кожи на теле составляет около двух квадратных метров. Исходя из этого, вполне логично считать, что количество кожных заболеваний включает в себя немалый список.

Помимо того, что кожный покров человека выполняет защитную и иммунную функцию организма, с его помощью также регулируется температура, водный баланс и многие ощущения. Именно поэтому так важно защитить кожу от воздействия различных заболеваний. Это задача является самой главной относительно профилактики.

Ниже можно ознакомиться с тем, какие из самых распространенных заболеваний кожи могут возникнуть у человека и посмотреть их фото. Здесь можно ознакомиться с описанием болезней, а также с симптомами и причинами возникновения заболевания. Сразу стоит обратить свое внимание на то, что многие кожные заболевания можно вылечить без особого труда.

Какие бывают кожные болезни у человека?

Кожные заболевания могут быть различного происхождения. Все они отличаются своим видом, симптомами и причиной образования.

Самые распространенные из них:

Грибки. Грибковые заболевания кожного покрова у человека, как правило, вызывают грибки-паразиты, чье происхождение является растительным. Такие заболевания обычно поражают: ногтевую пластину, волосы, кожный покров. Грибковые заболевания являются заразным, значит они легко могут передаваться от одного организма к другому.
Гнойники. Провокаторами гнойничковых заболеваний кожи являются стафилококки и стрептококки. Также причиной образования гнойников могут стать инфекции в качестве последствия охлаждения и психической травмы. Гнойничковые заболевания кожи делятся на два основных вида: поверхностная пиодермия и глубокая пиодермия.
Заболевания кожи, которые вызваны животными паразитами. К таким болезням относятся: педикулез и чесотка. Первый достаточно просто вылечить. Возбудителем чесотки, как правило, является чесоточный зудень или клещ. При первых же симптомах чесотки необходимо начать лечение, так как, в противном случае, это может привести к образованию экземы.
Лишаи. Лишаи имеют несколько видов. Самые распространенные из них: розовый лишай, плоский красный лишай, опоясывающий лишай, цветной лишай. У каждого вида есть свои особенности и причины образования.
Заболевания кожных желез. Самыми распространенными видами этих заболеваний являются: себорея и угри. Если себорея поражает голову, то начинается выпадение волос. Угри чаще всего проявляются в молодом возрасте, чаще всего на основе себореи.

Дерматит – это высыпания в виде пузырьков, шелушение, дискомфорт, зуд, жжение и прочее. Причины могут быть разными, в зависимости от которых выделяется несколько разновидностей дерматита, например, инфекционный, аллергический, атопический, пищевой и т.д.

В состав крема входят исключительно природные компоненты, среди которых продукты пчеловодства и растительные экстракты. Высокая эффективность, практически отсутствуют противопоказания и минимальные риски побочных явлений. Потрясающие результаты лечения этим препаратом проявляются уже в первые недели применения. Рекомендую.

Фото и названия кожных болезней у человека

Теперь стоит рассмотреть фото основных заболеваний кожного покрова, а ниже ознакомиться с их симптомами, причинами возникновения и описанием.

Наиболее распространенные кожные болезни:

Акне
Дерматит
Лишай
Герпес
Экзема
Вульгарные угри
Пролежни
Чесотка
Кератоз
Карцинома
Гемангиома
Меланома
Папиллома
Дерматомикоз

Акне называется заболевание сальных желез, для которого характерно закупоривание и образование воспаления фолликулов. В народе часто данное кожное заболевание называют угревой болезнью.

Основные причины заболевания акне:

Гормональный сбой, который становится причиной неправильной работы сальных желез.
Стресс.
Наследственный фактор.
Дисбактериоз кишечной системы.
Загрязнение кожного покрова и его плохое очищение.

Симптомы образования акне:

Образование комедонов в виде угрей черного или белого цвета.
Образование глубоких угрей: папул и пустул.
Поражение области груди, лица, спины и плеч.
Образование покраснений и бугристостей.
Появление гнойных прыщей.

Дерматитом называется любое воспаление кожи. Заболевание дерматита имеет несколько видов. Самые распространенные виды дерматита: контактный, пеленочный, себорейный, атопический.

Несмотря на это дерматит имеет некоторые основные причины возникновения:

Физическое воздействие на кожный покров в виде трения, давления.
Воздействие высокой температуры и солнечных лучей на кожу.
Применение химических и косметических средств, которыми пользуется человек.
Воздействие внешней среды.

Симптомы кожного дерматита:

Появление жжения и зуда.
Образование волдырей на кожном покрове.
Наличие отечности.
Образование покраснений на местах воспаления.
Образование чешуек и сухих корочек.

Здесь вы можете подробно узнать об особенностях и лечении воспаления, а также посмотреть фото дерматита.

Такое кожное заболевание как лишай, включает в себя ряд нескольких разновидностей. Каждый из таких видов отличается своим возбудителем, типом высыпания, локализацией и заразностью.

Подробную информацию о видах этого заболевания и фото лишая у человека можно найти на сайте.

Основные причины возникновения лишая на кожном покрове человека:

Вирусная и грибковая микрофлора.
Ослабленный иммунитет.
Стресс.
Наследственность.
Инфекционные заболевания.

Симптомы заболевания лишая:

Образование цветных и шелушащихся пятен.
Образования пятен на любой части тела, в зависимости от вида заболевания.
Некоторые виды сопровождаются повышением температуры.

Ответы на вопрос о лечении герпеса на теле вы найдете тут.

Герпес также может отличаться по своему виду и локализации, однако, все виды герпеса имеют общие причины возникновения:

Слабый иммунитет (чаще всего после перенесения какого-либо заболевания).
Нарушение обмена веществ в организме.
Наличие вредных привычек (употребление большого количества алкоголя).
Наличие острых респираторных заболеваний.
Неправильное функционирование желудочно-кишечного тракта.

Основные симптомы герпеса:

Образование пузырьков, которые наполнены прозрачной жидкостью.
Воспаление и покраснение на месте образований.
Пузырьки лопаются через 3 суток.
Образование сухой желтой корочки на лопнувших пузырьках.

Экзема – это рецидивирующее воспаление верхнего слоя кожного покрова, которое может быть вызвано самыми разными причинами, начиная от заболеваний и заканчивая употреблением продуктов питания, вызывающих аллергическую реакцию.

Основные причины образования экземы на кожном покрове:

Наследственность и генетическая предрасположенность.
Неправильная работа иммунной системы организма.
Гормональные сбои в организме.
Наличие микоз.
Наличие заболеваний печени и желудка.

Симптомы экземы:

Образование мокнущих пузырьков на кожном покрове.
Образование серозных язвочек.
Наличие зуда появляется редко.
Выраженная эритема.
Отечность тканей.

Вульгарные угри

Вульгарными угрями называется хроническое заболевание кожного покрова, которое проявляется в качестве гнойно-воспалительных изменений сальных желез. Чаще всего вульгарные угри появляются на лице, спине и груди.

Основные факторы, которые являются провокаторами появления вульгарных угрей:

Генетическая предрасположенность.
Наследственность.
Гиперандрогения.
Начало полового созревания.
Нарушенная менструальная функция.
Заболевания, которые были перенесены ранее.
Факторы, связанные с профессиональной деятельностью.

Основные симптомы вульгарных угрей:

Образование комедонов.
Перерождение комедонов в папулы или пустулы.
Локализация на спине, лице и шее.
Образование рубцов после воспаления.

Пролежнями называется развитие процесса, для которого характерно омертвение, затрагивающее мягкие ткани до самой кости из-за внешних раздражителей и нарушения питания тканей.

Основные причины пролежней:

Любые внешние механические раздражители (гипсовая повязка, зубной протез).
Нарушение питания тканей.
Мочевое и каловое недержание.
Малоподвижный образ жизни больного.
Дефицит белков.
Сухая кожа.
Плохой уход за больным.

Симптомы пролежней:

Образование покраснения.
Отечность кожного покрова.
Отслаивание верхних слоев кожного покрова.
Образование пузырьков.
Образование глубоких язв после вскрытия пузырей.

Основные причины появления чесотки у человека – наличие на кожном покрове чесоточного клеща, которого практически невозможно заметить невооруженным взглядом.

Симптомы чесотки:

Наличие зуда на пораженных участках кожи.
Образование высыпаний вследствие сильного расчесывания и заражения кожи. другими инфекциями.
Образование пузырьков.
Образование на коже полос – чесоточных ходов.

Здесь вы можете подробнее узнать как лечить чесотку.

Данное заболевание сопровождается уплотнением и ороговением кожи человека. С развитием кератоза могут появиться болезненные ощущения и кровоточащие ранки.

Основные причины возникновения кератоза:

Генетическая предрасположенность.
Внешние химические раздражители.
Слабая иммунная система организма.
Уже перенесенные инфекционные болезни.
Изменения в возрасте (чаще всего заболевание проявляется у людей старше 50 лет).

Симптомы проявления кератоза:

Шероховатость и неровность кожного покрова на первой стадии заболевания.
Образование твердых пятен коричневого или красного цвета.
Шелушение кожного покрова около образований.
Наличие зуда.

Заболевание может образоваться на любом участке кожного покрова. Резкое увеличение количества родинок на теле должно уже настораживать.

Основные симптомы карциномы:

Образование перламутровых или блестящих шишек.
Образование язв.
Образование розовых выпуклых пятен.

Гемангиома

Гемангиомой называется доброкачественное образование на кожном покрове из-за дефекта сосудов, которое чаще всего проявляется у детей. Внешне заболевание представляет собой бугристые пятна красного оттенка.

Причины появления гемангиомы:

Прием лекарственных препаратов в период беременности.
Гормональный сбой в организме беременной женщины.
Перенесенные инфекционные заболевания в период беременности.

Симптомы гемангиомы:

На первоначальной стадии образование слабозаметное пятно в области лица или шеи ребенка.
Покраснение пятна.
Пятно становится бордового цвета.

Меланома – еще один признак рака кожи. При первых признаках появления меланомы необходимо обратиться к врачу.

Основные симптомы меланомы:

Родинка имеет различные оттенки.
Шероховатость и неровность новообразования.
Родинка превышает 5 мм в своем диаметре.
Опухшие родинки.
Родинки начинают болеть и чесаться.
Из родинок выделяются лимфа и кровь.

Папилломой называется опухоль доброкачественного характера, которая появляется на поверхности кожного покрова в виде небольшого нароста.

Причины папилломы:

Ослабленный иммунитет.
Стресс.
Заболевания желудочно-кишечного тракта.
Курение.
Употребление большого количества алкоголя.
Наличие хронических заболеваний.

Основные симптомы папилломы:

Образование розового или телесного нароста.
Размер образования может достигать нескольких сантиметров.
Образование обычной бородавки.

Дерматомикоз

Дерматомикозом принято называть группу грибковых заболеваний кожного покрова. Как правило, данное заболевание встречается у 20% жителей планеты. Основной причиной появления дерматомикоза у человека является попадание грибков на кожу или слизистую область человека.

Симптомы дерматомикоза:

Образование пятен красного оттенка, которые покрыты чешуйками.
Наличие зуда.
Выпадение и ломка волос.
Расслаивание ногтей.

Как правило, кожные заболевания лечатся следующими способами:

Соблюдение диеты и правильного режима питания, употребление необходимых витаминов.
Лечение лекарственными препаратами, чтобы повысить иммунную систему.
Употребление антибиотиков, если кожное заболевание приняло тяжелую форму.
Наружное лечение с помощью мазей и кремов.

Здесь вы можете подробно прочитать чем лечить грибок на ногах.

Заключение

Не стоит также забывать о том, что лучшим лечением кожных заболеваний является профилактика. Элементарными профилактическими методами является: соблюдение правил личной гигиены, рацион питания и меры предосторожности во время отдыха на открытом воздухе.

Врач-косметолог, дерматолог, высококлассный специалист, главный врач медицинского Спа-центра Весна и автора сайта heal-skin.com

Добрый день!
У ребенка появилась на пальчике на фаланге безымянного пальчика, на вид очень похож был после ожога вскрылась кожа и выделялась жидкость. Потом появился на носу, на животе, на голове. Края красные. Увеличивается по размеру. К врачу сходить нет возможности, за границей находимся.
Что можно сделать?
Спасибо

Делайте что хотите но сходите к врачу. Так можно затянуть до самых сложных последствий!

Если на коже на попе появились коричневые симметричные пятна в диаметре 2*5 см шелушение, что это может быть?

Отменить ответ

Нажимая «Отправить» вы соглашаетесь с политикой конфиденциальности

Если на коже на попе появились коричневые симметричные пятна в диаметре 2*5 см шелушение, что это может быть?

Ответ оставил Гость

Сначала надо узнать площадь всей клумбы. Т.к. клумба квадратная у нее все стороны равны значит 8*8=64
Дальше мы должны узнать какую площадь занимают астры 64-4/4 (это вся клумба)
Х-1/4 (это астры)
Х=64*1/4=16
16 м2 занимают астры
Теперь от всей площади отнимаем площадь астр 64-16=48 м2 занимают розы

Ответ оставил Гость

Решение задач спомошью составления уравнений.сторона огорода квадратной формы равна 6 м. с четверти площади собрали огурцы

Ответ или решение 1

Для решения задачи сперва следует определить площадь огорода.

Поскольку он имеет квадратную форму, а его сторона равна 6 метрам, для этого умножаем между собой любые две из сторон.

В таком случае получим:

Находим площадь, с которой были собраны огурцы.

Для этого умножаем площадь огорода на часть.

36 * 1/4 = 36 / 4 = 9 м^2.

Находим площадь, с которой собирали помидоры.

Для этого от всей площади отнимаем площадь с огурцами.

36 * 1/4 = 36 / 4 = 9 м^2.

Как выбрать очки по форме лица: полезные советы

Проблема выбора очков для каждой девушки — задача с непростых. В силу огромной возможности выбора, достаточно часто выбор бывает неудачным. Следует придерживаться рекомендаций, чтобы избежать частых предсказуемых ошибок.

Выбор оправы к форме лица: почему это важно?

Подобрать правильно оправу для очков, которая подойдет к форме лица — необычайно важно для девушки. Прежде всего, потому что, какими бы тонкими и незаметными очки ни были, они все равно закрывают достаточно большую область лица девушки. Если девушка выбрала очки неправильно, то они не просто значительно скроют ее глаза, но и исказят пропорции лица. С правильно подобранной формой очков твое лицо преобразиться, а оправа нужной формы подчеркнет достоинства лица и скроет недостатки.

Выбираем оправу очков для овального лица

Девушкам с типом лица «овал» подойдут многие очки. Единственное правило для такого личика: оправа очков в обязательном порядке должна повторять форму изгиба бровей. Как правило, у девушек с овальным лицом, форма бровей почти всегда идеальной формы. Поэтому не стоит выбирать слишком массивные оправы, закрывающие брови, иначе твое лицо обретет неправильные черты и пропорции.

Подбор оправы для круглого лица

Для круглолицых девушек подойдут очки с угловатой оправой. Обладательницам очаровательного круглого лица стилисты советуют носить очки с квадратной оправой, но плавной. Дужки в оправе для круглолицых должны быть высоко поставлены. Круглолицым девушкам не рекомендуется носить очки, которые своей оправой закрывают область скул, а также совсем не подходят тебе и очки с круглой оправой.

Надо заметить, что девушки с круглым лицом всегда привлекательны, потому как имеют немного детские черты лица. Это можно удачно обыграть, выбрав оправу самых неожиданных форм, например, в виде сердечка.

Очки и оправа для квадратной формы лица девушек

Самая главная задача в выборе оправы для девушек с квадратным лицом — это не усугублять черты лица, а наоборот — подчеркнуть женственность.

Девушкам с типом лица «квадрат» мы рекомендуем выбрать круглую оправу для очков. Тебе также подойдут круглые или каплевидные очки. Оправа очков обязательно должна закрывать брови. Квадратному типу лица не подходят очки с угловатой оправой, а также квадратные и резкие прямоугольные оправы. Такие очки зрительно утяжеляют формы лица, лишая его женственности.

Очки для формы женского лица в виде треугольника

Круглые или овальные, а также — модели оправы слегка вытянутой формы, идеально подойдут девушкам типом лица «треугольник». Следует избегать ярких вычурных моделей очков грубых форм с резкими углами.

Очки для вытянутой формы лица

Вытянутое лицо может быть у девушек с овальным, квадратным и даже треугольным лицом. Прямоугольное лицо — совсем не редкость как в России, так и за рубежом, и правильно найти очки для подобного типа лица чрезычайно важно.

Девушкам с прямоугольным типом лица необходимы большие массивные оправы. Стилисты не советуют приобретать прямоугольную или квадратную оправу, также нужно избегать резких углов. А если у девушки ромбовидное лицо, то ей подойдут очки вытянутой формы.

Советы стилистов по подбору очков: цвет и размер

Следует запомнить одно важное правило: оправы и линзы очков светлого оттенка всегда смягчают жесткие черты лица, а оправы очков и линзы в темных оттенках, в том числе и черного цвета, всегда делают их более резкими. Цвет очков нужно определять в зависимости от желания.

Не стоит обращать пристальное внимание на все, что диктует мода в данный момент, потому что есть важное правило — очки всегда следует выбирать по размеру. Если очки «болтаются» или давят — это всегда дурно выглядит. Перед покупкой очков, можно сориентироваться по очкам, которые есть в наличии и которые хорошо сидят, но лучше знать размер очков.

Обычно данные о размере оправы размещены с внутренней стороны дужки очков. Данные нанесены в такой последовательности: размер линзы очков, размер перемычки и размер дужки, все это замерено в миллиметрах. Стандартные показания для оправы — 50-18-140, но эти цифры могут немного различаться. В случае, если тебе подходят такие стандартные размеры, то примеряй очки в этом диапазоне.

И самое главное, всегда доверяй своему вкусу. Ты — это единственный советчик, который тебя не подведет и который знает, что тебе самой нужно.

Самая главная задача в выборе оправы для девушек с квадратным лицом — это не усугублять черты лица, а наоборот — подчеркнуть женственность.

КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА

над коммутативным люльцом с единицей — однородный многочлен

от n=n(q)переменных с коэффициентами Обычно R- это поле С, R или Q, либо кольцо Z, кольцо целых элементов алгебраич. числового поля, а также их пополнения по неархимедовым нормам.

Симметрическая квадратная матрица A = A(q)=(a_ij )порядка п, где а _ii=2q_ii, a_ij=a_ji=q_ij, наз. кронекеровой матрицей К. ф. д<х);. обозначение Зигеля: Eсли дискриминантD(q). К. ф. qне равен 0, то qназ. не вырожденной, а если равен 0, то — вырожденной.

К. ф. q(x)наз. гауссовой, если она допускает симметрическую запись:

т. е. найдутся для к-рых q_ij=2b_ij, n/2 2 n d(q), если п(q) четно, D(q) =(— 1) ( п-1)/2 2 n-1 d(q), если (q)нечетно.

Если R- поле характеристики, отличной от 2, то всякая К. ф. над Л гауссова. Если Л вкладывается в поле Fхарактеристики, отличной от 2, то К. ф. q(x)над R можно рассматривать как гауссову, но с матрицей B=B(q)над Fи

К. ф. q_r и q₂ эквивалентны над R(q₁-q₂), если одна из них преобразуется в другую обратимой в Rлинейной однородной подстановкой переменных, т. е. если найдется такая обратимая квадратная матрица Uнад Л, что A(q₁)=U T A(q₂)U. Совокупность К. ф. над Л, эквивалентных над Л данной, называется классом К. ф. Дискриминант К. ф., с точностью до квадрата обратимого в Л элемента,- инвариант класса.

Другая точка зрения на К. ф. состоит в следующем. Пусть V- унитарный Л-модуль; отображение q: наз. квадратичным отображением (или квадратичной формой на модуле V, если 1) q(ax) = a 2 q(x), 2) отображение b_q:

задаваемое равенством

является билинейной формой на модуле V. Пара (V, q )наз. квадратичным модулем. Форма b_q всегда является симметрической.

Всякой билинейной форме b( х, у )на Vотвечает К. ф. q(x) = q_b(x)=b(x,x);при этом Если в кольце Л элемент 2 имеет обратный 1/2, то есть взаимно однозначное соответствие между квадратичными и симметричными билинейными формами на модуле V. Если V- свободный Л-модуль ранга пи q — К. ф. на V, то каждому базису е ₁, . . ., е _п модуля Vотвечает К. ф. в классическом понимании

где q_ii=q(e_i), q_ij=b_q(e_i, ej),. Каждая К. ф. q(x₁, . , х _п )над Л получается таким способом из нек-рого квадратичного модуля (R n , q). При замене базиса К. ф. q(x₁,. , х _п )переходит в эквивалентную К. ф., и обратно.

Говорят, что элемент представим К. ф. q(или что форма qпредставляет у), если уявляется значением этой формы при нек-рых значениях переменных. Эквивалентные К. ф. представляют одни и те же элементы. К. ф. q(x)над упорядоченным полем наз. неопределенной, если она представляет как положительные, так и отрицательные элементы, и наз. положительно (отрицательно) определенной, если q(x)>0 (соответственно q(x) T A(q)S (T- знак транспонирования).

Алгебраическая теория К. ф.- теория К. ф. над полями.

Пусть F- произвольное поле характеристики, отличной от 2. Задача о представлении формы r формой qнад Fсводится к проблеме эквивалентности форм над F, ибо (теорема Полла) для того, чтобы невырожденная К. ф. г была представима невырожденной К. ф. qнад Л, необходимо и достаточно, чтобы нашлась такая форма h = h(x_m+1,. , х _п), что К. ф. r+h и qэквивалентны над F. Здесь r+h — ортогональная прямая сумма форм, т. е. rи hне имеют общих переменных. Теорема Витта о сокращении: если h++q₂, то

Всякая К. ф. над Fэквивалентна диагональной:

Можно считать, что а _1; . , а _r0, а а _r+1=. . . = a_n=0. Число rназывается рангом К. ф. q n совпадает с рангом матрицы A(q). Если в Fсуществует квадратный корень из любого элемента, то К. ф. над Fэквивалентна форме x₁ 2 + . +x_r 2 (нормальный вид К. ф.).

Всякая невырожденная К. ф. qэквивалентна форме

где q анизотропна; при этом qоднозначно определяет kи класс формы q над F, называемый анизотропным ядром формы q(см. также Bumma разложение). Две формы q₁ и q₂, имеющие одно и то же анизотропное ядро, наз. подобными по Витту. На классах подобия форм определена структура кольца (см. Bumma кольцо).

Пусть F- упорядоченное поле (в частности, поле R)и всякий положительный элемент в Fявляется квадратом. Тогда всякая К. ф. qприводима к форме вида

При этом числа sи r- s(положительный и отрицательный индексы инерции) определены формой однозначно (см. Инерции закон). Тем самым для этих полей разрешается проблема эквивалентности К. ф.

Над полем Q проблема эквивалентности сводится к аналогичной проблеме для полей р-адических чисел: для того чтобы К. ф. q₁ и q₂ были эквивалентны над Q, необходимо и достаточно, чтобы q₁ и q₂ были эквивалентны над Q_p для всех простых чисел ри над Q₀₀ = R. (теорема Минковского — Хассе). Аналогичное утверждение справедливо и для A-полей — алгебраических числовых полей и полей алгебраич. функций от одной переменной над конечным полем констант. Это — частные случаи общего Хассе принципа. В поле проблема эквивалентности решается с помощью Хассе инварианта.

К. ф. qнад полем Fназ. мультипликативной над F, если

где z,- суть рациональные функции от х ₁, . .. , х _п, у ₁,. , у _п над F. Если при этом z_i — билинейныз функции, то говорят, что форма обладает композицией. Композиция возможна лишь в случаях п=2, 4, 8 (теорема Гурвица). Существует простое описание мультипликативных форм [16].

Изложенная алгебраич. теория К. ф. обобщена [7] на случай поля характеристики 2.

Арифметическая теория К. ф.- теория К. ф. над кольцами. Она возникла в связи с задачей о решении диофантовых уравнений 2-й степени. Вопрос о решении таких уравнении сводится к задаче о представлении целых чисел целочисленной К. ф. q, т. е. к задаче решения в уравнения b=q(x₁,. , х _п). Известны алгоритмы, сводящие нахождение (описание) всех решений этого уравнения к проблеме эквивалентности К. ф. над Z, т. е. к задаче отыскания по заданным К. ф.и обратимых матриц Uнад Z, удовлетворяющих условию U T AU=A₁. Для n=2 эти алгоритмы были построены Ж. Лагранжем (J. Lagrange) и К. Гауссом (С. Gauss), к-рые создали общую теорию бинарных К. ф. На произвольное пони обобщены Г. Смитом (Н. Smith) и Г. Минковским (Н. Minkowski).

Одной из центральных проблем арифметич. теории является задача отыскания простых критериев существования представлений Sформы В[х]формой

т. е. решений матричного уравнения

а также задача построения формул для числа R(q, r)= R(A, В )таких представлений. При этом, если число представлений бесконечно, то речь идет о числе В’(q, r)»существенно различных» представлений (представления Sи S’ отождествляются, если S’=VS, где V — целочисленный автоморфизм формы q), т. е. V T AV=A). Необходимым условием существования представлений является разрешимость уравнения (1) над R и разрешимость над Z матричного сравнения

по любому g. (Для разрешимости всех сравнений (2) достаточна разрешимость (2) при g=g_o=8D(q)D (r). )Эти необходимые условия, наз. «родовыми», равносильны разрешимости (1) над Z _р для любого простого числа ри над Они равносильны также разрешимости (1) над полем рациональных чисел Q «без существенного знаменателя», т. е. существованию рационального решения Sс общим знаменателем, взаимно простым с любым наперед заданным числом g(достаточно ограничиться числом g=g). Условия разрешимости сравнений (2) можно выразить через родовые инварианты форм q и r. Число решений сравнения (2) находится с помощью сумм Гаусса.

Род К. ф. над — множество K. ф. над эквивалентных друг другу над для всех простых р, включая Z_oo =R. Род К. ф. состоит из конечного числа классов одного и того же дискриминанта. Род К. ф. q(x)=может быть задан конечным набором родовых инвариантов — инвариантов порядка, выражаемых через элементарные делители матрицы А, и характеров рода Род может быть задан также значениями сумм Гаусса. Существенную роль в теории К. ф. играет также понятие спинорного рода, более тонкое, чем понятие рода.

Рекомендуем прочесть: Мой Кот Очень Навязчивый И Постоянно Орет

Число R’(q, r )существенно различных представлений формы г формой qпросто связано с числом R’(q, r )существенно различных примитивных представлений, т. е.. таких представлений S, что наибольший общий делитель миноров порядка тматрицы равен 1. Для величины

(усреднения функции R’(q, r )по роду формы q), где q₁, . . . , q_l — представители всех классов рода формы q(из каждого класса по одному), имеются (см. [11], [15]) формулы, выражающие S(q, r )через число решений нек-рых сравнений. В случае, когда род формы qсостоит из одного класса, эти формулы полностью решают вопрос о числе представлений. В случае многоклассных родов известны лишь асимптотич. формулы для R(q, r), а также точные формулы для нек-рых конкретных К. ф.

продолжение Квадратичная форма.

Аналитическая теория К. ф. Аналитич. методы в теорию К. ф. были введены П. Дирихле (P.Dirichlet). Развивая эти методы, К. Зигель (К. Siegel) пришел к общим формулам для числа представлений формы родом форм.

Пусть q(x₁. , х _п)=. и r(x₁, . , х _т) =— положительно определенные К. ф. над Z. Число

наз. зигелевым средним по роду для числа представлений R(q,r) формы rформой q. Здесь E(qi)- число автоморфизмов формы q;,

— вес рода К. ф. q. Пусть

где О — окрестность точки r=r (х)в m(m+1)/2-мерном пространстве m-арных К. ф. над R, J’ — соответствующая область решений S₁ матричного уравнения (1) над R, a V(J)и F(J’) — их объемы.

Формула Зигеля для К. ф. qи r имеет вид

где х= 1 /₂, если n=m>1 или n=m+i и t=1 в остальных случаях. Здесь

где предел берется по таким последовательностям g, что любое натуральное число является делителем почти всех g,a w(g)- число различных простых делителей g,w_n-m(g) = 0, если п>т,a R_g(q, r)- число представлений формы r формой qпо модулю g, т. е. число решений матричного сравнения

Имеется ряд равносильных определений для H(q, r )и (см. [17]) выражение через обобщенные суммы Гаусса. Формула (3) содержит, как частный случай, формулу Минковского для веса рода:

последняя в случае п=2 дает формулу Дирихле для числа классов.

Формулы, аналогичные (3), имеют место и для неопределенных К. ф. и форм с целыми алгебраич. коэффициентами (см. [17], [18]).

Приложение теории модулярных форм к исследованию мультипликативных свойств количества представлений чисел положительными К. ф. с четным числом переменных было дано Э. Хекке (Е. Несkе, [10]). Теория модулярных форм позволяет получать формулы для R(q, b )(см. обзор [5]).

К вопросу о представлении чисел К. ф. от четырех и более переменных применяется круговой метод (см. [4]). Если q- положительно определенная К. ф. над Z, то применение кругового метода приводит для к асимптотич. формуле

Подобные асимптотич. формулы могут быть получены круговым методом и для неопределенных К. ф. при n 4.

Для исследования R (q, b )в случае n=3 применяется дискретный эргодический метод Линника (см. [3], [4]). Он заключается в том, что на нек-ром множестве представлений чисел тернарными К. ф. устраивается эргодический поток представлений, управляемый оператором, связанным с задачей представления чисел кватернарными К. ф. Эргодический. метод приводит (при выполнении необходимых условий) к оценке типа

R(q, b)> ch(-Db), с = c (q)> 0; в ряде случаев получены и асимптотич. формулы.

Для исследования таких вопросов теории К. ф.,как теория приведения, автоморфизмы, арифметич. минимумы К. ф., Ш. Эрмитом (Ch. Hermite) был развит метод непрерывных параметров, превратившийся затем в обширный раздел теории К. ф.- геометрическую теорию К. ф., или геометрию К. ф. (к-рую можно рассматривать и как часть Геометрии чисел). Идея метода состоит в следующем. Заданной n-мерной точечной решетке ставится в соответствие та или иная арифметич. величина и рассматривается поведение функции при малых изменениях параметров решетки Л. Характерной чертой геометрии К. ф. является систематич. использование n(n+1)/2-мерного пространства коэффициентов (параметров), в к-ром решетка Л изображается точкой. Пусть — К. ф. с действительными коэффициентами а _ij= а _ji (i, j=1, . .. , n). Форме f ставится в соответствие точка f=(а ₁₁, . . . , а _пп, а ₁₂, . . . , а _-1,n) в N-мерном евклидовом пространстве, N=n(n+1)/2, называемом пространством коэффициентов. Положительно определенным формам f при этом отвечает открытый выпуклый конус B с вершиной в начале координат, называемый конусом положительности. Решетке Л соотносится класс эквивалентных n-арных положительно определенных К. ф.; при базисе [ . ] решетки L ей ставится в соответствие форма

Тем самым решетке Л соответствует бесконечное дискретное множество точек конуса положительности Если выбрать точную область приведения положительно определенных К. ф., то каждой решетке будет взаимно однозначно соответствовать точка пространства коэффициентов. Малым изменениям параметров решетки Л отвечают малые изменения точки

Геометрическая теория К. ф. распадается на ряд достаточно самостоятельных теорий, связанных единым методом исследования. Фундаментом ее является теория приведения положительных К. ф., к-рая, изучая области приведения решает проблему эквивалентности положительных К. ф.- одну из центральных задач арифметич. теории К. ф. (см. Квадратичных форм приведение).

Существенную роль играет теория Вороного типов решетки. Она имеет важные приложения в теории параллелоэдров. Теория типов получила применение в решении задач об экономнейшем решеточном покрытии n-мерного пространства шарами.

Другой традиционный раздел геометрич. теории К. ф.- теория совершенных форм, также созданная Г. Ф. Вороным. Эта теория позволила решить Эрмита проблему арифметич. минимумов положительных К. ф., равнозначную задаче о плотнейшей решетчатой упаковке шаров в га-мерном пространстве. Задача о плотнейшей решетчатой упаковке шаров и задача об экономнейшем решетчатом покрытии шарами — наиболее известные примеры экстремальных задач, составляющих значительную часть К. ф. геометрии.

К геометрической теории К. ф. можно также отнести нек-рые обобщения алгоритма цепных дробей, напр, алгоритм Вороного вычисления единиц кубического поля, теорию фундаментальных областей автоморфизмов неопределенных К. ф.

Лит.:[1] Боревич З. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [2] Делоне Б. Н., «Успехи матем. наук», 1937, в. 3, с. 16-62; 1938, в. 4, с. 102-64; [3] Линник Ю. В., Эргодические свойства алгебраических полей, Л., 1967; [4] Малышев А. В., О представлении целых чисел положительными квадратичными формами, М.- Л., 1962; [5] его же, в кн.: Актуальные проблемы аналитической теории чисел, Минск, 1974, с. 119-37; [6] Серр Ж. — П., Курс арифметики, пер. с франц., М., 1972; [7] Аrf С, «J. reine und angew. Math.», 1941, Bd 183, S. 148-67; [8] Eichler M., Buadratische Formen und orthogonale Gruppen, 2 Aufl., В., 1974; [9] Hasse H., «J. reine und angew. Math.», 1923, Bd 152, S. 129 -48, 205 -24; 1924, Bd 153, S. 12-43, 76-93, 113 — 30, 158-62, 186-207; [10] He eke E., Mathematische Werke, Gott., 1959; [11] Jones B. W., The arithmatic theory of quadratic forms, N. Y., 1950; [12] L a m T. Y., The algebraic theory of quadratic forms, Reading, 1973; [13] Minkоwski H., Gesammelte Abhandlungen, Bd 1-2, Lpz. — В., 1911; [14] O’Mearа О. Т., Introduction to quadratic forms, В., 1963; [15] Pall G., «Canad. J. Math.», 1949, v. 1, p. 344-64; [16] Pfister A., «Arch. Math.», 1965, Bd 16, S. 363-70; [17] Siege 1 C. L., Lecturis on the analytical theory of quadratic forms, 3 ed., Gott., 1963; [18] его же, Gesammelte Abhandlungen, Bd 1-3, В., 1966; [19] Smith H. J. S., The collected mathematical papers, v. 1-2, Oxf., 1894; [20] Watson G. L., Integral quadratic forms, Camb., 1960; [21] Фоменко О. М., Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 15, М., 1977, с. 5 — 91.

Алгебраическая теория К. ф.- теория К. ф. над полями.